COORDENADAS POLARES Y CARTESIANAS

Para indicar dónde estás en un mapa o gráfico hay dos sistemas:

Coordenadas cartesianas

Con coordenadas cartesianas señalas un punto diciendo la distancia de lado y la distancia vertical:

COORDENADAS POLARES

Con coordenadas polares señalas un punto diciendo la distancia y el ángulo que se forma:

CONVERTIR

Para convertir de un sistema a otro, se resuelve el triángulo:

DE CARTESIANAS A POLARES

Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x,y) y lo quieres en coordenadas polares (r,θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.

Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):

r² = 12² + 5²

r = √ (12² + 5²)

r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13

Usa la función tangente para calcular el ángulo:

tan( θ ) = 5 / 12

θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°

Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x,y) a polares (r,θ) son:

r = √ (x² + y²)

θ = atan( y / x )

DE POLARES A CARTESIANAS

Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x,y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:

Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?

 

Usamos la función coseno para x:	cos( 23 °) = x / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:	x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98
Usamos la función seno para y:	sin( 23 °) = y / 13
Cambiamos de orden y resolvemos:	y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08

Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:

x = r × cos( θ )

y = r × sin( θ )

REPRESENTACION DE UN PUNTO

Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares.

En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

·         El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.

·         El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL.

Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:

·         Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto ( , θ) se puede representar como ( , θ ±  ×360°) o (− , θ ± (2  + 1)180°), donde   es un número entero cualquiera.⁴

·         El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.⁵ Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar   a números no negativos   ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).⁶

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.

GRAFICA DE FUNCIONES

ESTUDIO DE SIMETRIA.

Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar . Si  (−θ) =  (θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si  (180°−θ) =  (θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si  (θ−α°) =  (θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.

Para los apartados siguientes se entiende que el círculo, la línea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma r = f (θ) . Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos obtener una tabla de valores para ciertos puntos y luego representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos.

Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo   como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función  .

Secciones cónicas

Elipse, indicándose su semilado recto.

Una sección cónica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cónica descanse sobre el eje polar) es dada por:

Donde e es la excentricidad y   es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuación define una hipérbola; si e = 1, define una parábola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un círculo de radio .

LEMNISCATA

Cuando a = b, el origen es un punto del óvalo, que adquiere forma de ocho. Se denomina entonces Lemniscata. Una generalización, consiste en estudiar el lugar geométrico de los puntos cuyo producto de distancias a otros r ≥ 2 distintos F1,...Fr es constante. De esta forma, pueden conseguirse óvalos generalizados de formas arbitrarias.

ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

Se trata ahora de presentar ecuaciones polares típicas que permitan por inspección describir su lugar geométrico.

RECTAS

Rectas tales que contienen al polo.

La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella, es de la forma

 y = mx

Realizando las transformaciones respectivas:

y = mx

r senθ=m r cosθ

sen θ

_____ = Tg θ = Tgφ

 cos θ

Resulta totalmente que:

θ = φ

Rectas tales que NO contienen al polo y se encuentran a una distancia "d" del polo.

Observemos la siguiente representación gráfica:

Del triangulo tenemos:

cos (θ – φ) = d

                             R

Por tanto, la ecuación del mencionado lugar geométrico sería:

                      d

      r =______________  

            cos (θ − φ)

CIRCUNFERENCIA

Un círculo con ecuación  (θ) = 1.

La ecuación general para una circunferencia con centro en ( ₀, φ) y radio   es

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene:⁸

Línea

Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación

 donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan   donde   es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto ( ₀, φ) tiene la ecuación

ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS

Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS

Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:

ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS

El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:

CARACOLES

Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: r = a ± b cos θ o de la forma r = a ± b sen θ

Consideremos tres casos:

1. Si a = b se llama CARDIOIDES

r = 6 + 6 cos θ

                                         Esta gráfica presenta simetría al eje polar, es decir: f (θ) = f (−θ)

Si a > b se llaman LIMACON O CARACOL SIN RIZO

ESPIRAL

Este gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo.